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（1）月黑风高穿袜子

有一个晚上你的房间的电灯忽然间坏了，伸手不见五指，而你又要出去，于是你就摸床底下的袜子。你有三双分别为红、白、蓝颜色的袜子，可是你平时做事随便，一脱袜就乱丢，在黑暗中不能知道哪一双是颜色相同的。

你想拿最少数目的袜子出去，在外面借街灯配成同颜色的一双。这最少数目应该是多少？

如果你懂得鸽笼原理，你就会知道只需拿出去四只袜子就行了。

为什么呢？因为如果我们有三个涂上红、白、蓝的盒子，里面各放进相对颜色的袜子，只要我们抽出4只袜子一定有一个盒子是空的，那么这空的盒子取出的袜子是可以拿来穿。

（2）手指纹和头发

据说世界上没有两个人的手指纹是一样的，因此警方在处理犯罪问题时很重视手指纹，希望通过手指纹来破案或检定犯人。

可是你知道不知道：在12亿中国人当中，最少有两个人的头发是一样的多？

道理是很简单，人的头发数目是不会超过12亿这么大的数目字！假定人最多有N根头发。现在我们想像有编上号码1，2，3，4，…一直到N的房子。

谁有多少头发，谁就进入那编号和他的头发数相同的房子去。因此张乐平先生的“三毛”应该进入“3号房子”。

现在假定每间房巳进入一个人，那么还剩下“九亿减N”个人，这数目不会等于零，我们现在随便挑一个放进一间和他头发数相同的房子，他就会在里面遇到和他有相同头发数目的同志了。

（3）戏院观众的生日

在一间能容纳1500个座位的戏院里，证明如果戏院坐满人时，一定最少有五个观众是同月同日生。

现在假定一年有三百六十五天。想像有一个很大的鸽子笼，这笼有编上“一月一日”，“一月二日”，至到“十二月三十一日”为止的标志的间隔。

假定现在每个间隔都塞进四个人，那么 4×365=1460个是进去鸽子笼子里去，还剩下1500-1460=40人。只要任何一人进入鸽子笼，就有五个人是有相同的生日了。

鸽笼原理在数学上的运用

现在我想举一些数学上的问题说明鸽笼原理的运用。

（1）斐波那契数的一个性质

斐波那契数列是这样的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…。从1，1以后的各项是前面两项的数的和组成。

在18世纪时法国大数学家和物理学家拉格朗日（J．L．La-grange）发现这斐波那契数有这样有趣的性质：

如果你用2来除各项，并写下它的余数，你会看到这样的情形1，1，0，1，1，0，1，1，0，…

如果用3来除各项，写下它的余数，你就得到

1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…

如果用4来除各项，写下它的余数，你就会得到

1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…

现在观察用2除所得的数列，从开头算起每隔三段，后面的数列就重复前面的数列。用3除所得的数列，从开头算起每隔八段，后面的数列就重复前面的数列样子。对于以4除所得的余数数列也有同样的情况：每隔六段，后面的数列就重复前面的数列样子。

拉格朗日发现不管你用什么数字去除，余数数列会出现有规律的重复现象。

为什么会有这样的现象呢？

如果我们用一个整数K来除斐波那契数列的数，它可能的余数是0，1，2，…，K－1。

由于在斐波那契数的每一项是前面两项的和，它被K除后的余数是等于前两项被K除余数的和。（注意：如果这和是大过K，我们取它被K除后的余数）只要有一对相邻的余数重复出现，那么以后的数列从那对数开始就会重复出现了。不同对相邻余数可能的数目有K2个，因此由鸽笼原理，我们知道只要适当大的项数，一定会有一对相邻余数重复。因此斐波那契数列的余数数列会有周期重复现象。

（2）五个大头钉在等边三角板里的位置

有一个每边长2单位的正三角形（即三边都相等的三角形）的三角板。

你随便在上面钉上五个大头钉，一定会有一对大头钉的距离是小过一单位。

你不相信的话，可以做几次实验看看是否一直是如此。我现在要用鸽笼原理来解决这个问题。




在三角板的每边取中点，然后用线段连结这些中点，把这正三角形分成四个全等的小正三角形图。现在在每一个小三角形里任何两点的距离是不会超过1个单位。

由于我们有五个大头钉，不管怎么样放一定有两个要落进同一个小正三角形里，因此这两个大头钉的距离是不会超过一个单位。

动脑筋 想想看

（1）给出任意12个数字，证明当用11来除时，一定有一对数的余数是相同。

（2）如果在一个每边都是2单位的正三角形板上随便钉上17个大

（3）如果在一个每边都是2单位的正方形板上随便钉上5根钉，

（4）我们一定能够在一个每边都是2单位长的正方形板上适当的钉上9根钉，使它们之中不存在有两根钉的距离是小于1单位。

（5）（英国数学奥林匹克1975年的问题）在一个半径为1单位的圆板上钉7个钉，使得没有两个钉的距离是大过或等于1，那么这7个钉一定会有一个位置恰好是在圆心上。

（6）任意6个人在一起，一定会有其中两种情形之一发生：第一种情形——有3个人互相认识。第二种情形——有3个人，他们之间完全不认识。

（7）（a）你能不能在从1到200的整数里挑选出100个自然数，使到任何其中之一不能整除剩下的99个数。

（b）证明如果在从1到200间随便取101个自然数，那么一定最少有两个自然数，其中之一能整除另外的数。

（8）随便给出10个10位数的数字，我们一定能把它分成两部分，使到每一部分的整数的和是等于其他一部分的整数的和。