Kruskal算法
1.概览
Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。
2.算法简单描述
1).记Graph中有v个顶点，e个边
2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边
3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序
4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中
if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中
添加这条边到图Graphnew中
图例描述：
将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图
下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。
3.简单证明Kruskal算法
对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。
归纳基础：
n=1，显然能够找到最小生成树。
归纳过程：
假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。
我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。
用反证法，如果T'+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>})。显然T应该包含<u,v>，否则，可以用<u,v>加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}，是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，产生了矛盾。于是假设不成立，T'+{<u,v>}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。
由数学归纳法，Kruskal算法得证。
首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边
在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5
依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。
自己的代码：
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include <iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 105
#define inf INT_MAX
int sum;
int g[maxn][maxn];
int vset[maxn];
int n;
typedef struct Node{int u;int v;int w;}newg;
int cmp(newg a,newg b)
{
return a.w<b.w;
}
int kruskal()
{
int sum=0;
newg e[maxn*maxn];
int k=0;
for(int i=1;i<=n;i++) //建立新图
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
e[k].u=i;
e[k].v=j;
e[k].w=g[i][j];
k++;
}
}
sort(e,e+k,cmp); //对边进行排序
for(int i=1;i<=n;i++)
{
vset[i]=i;
}
k=1;
int sn1;
int sn2;
int j=0;
while(k<n) //枚举每条边
{
sn1=vset[e[j].u];
sn2=vset[e[j].v];
if(sn1!=sn2) //如果sn1和sn2不连通，那么把sn2加入U集合中。
{
sum+=e[j].w;
k++;
printf("%d ---> %d, %d\n",e[j].u,e[j].v,e[j].w);
for(int i=0;i<n;i++) //修改未连接结点的连通结点
{
if(vset[i]==sn2)
{
vset[i]=sn1;
}
}
}
j++;
}
return sum;
}
int main()
{
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
memset(g,inf,sizeof(g));
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
scanf("%d",&g[i][j]);
g[j][i]=g[i][j];
}
}
printf("%d\n",kruskal());
}
}