an = {[(1 + √5)/2]^n - [(1 - √5)/2]^n}/√5

Fibonacci数列几个性质:

F(0)=1,F(1)=1,F(2)=2……
F(n+2)=F(n+1)+F(n)
其通项公式为:
F(n)= {[(1+√5)/2]^n+1 -[(1+√5)/2]^n-1}/√5
几个性质:
1. F(n-1)F(n+1)-F(n)F(n)=(-1)n+1
2. F(0)+F(1)+F(2)+……+F(n)=F(n+2)-1
3. F(0)+F(1)+F(2)+……+F(2n)=F(2n+1)
4. F(1)+F(3)+F(5)+……+F(2n-1)=F(2n) -1
5. F(0)F(1)+F(1)F(2)+……+F(2n)F(2n+1)=F(2n+1)^2
6. F(n-1)^2+F(n)^2=F(2n)
7. F(n+1)^2-F(n-1)^2=F(2n+1)

limf(n-1)/f(n)=φ
n→∞
其中φ＝(√5-1)/2，也就是黄金分割

两千多年前，古希腊数学家欧多克斯发现：如果将一条线段（AB）分割成大小两段（AP、PB），若小段与大段的长度之比恰好等于大段的长度与全长之比的话，那么，这一比值等于0.618……，用式子表示就是：PB/AP=AP/AB=0.618……。 有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人的肚脐是人体总长的黄金分割点，门窗的宽长之比也是0.618……；有些植物茎上，两张相邻叶柄的夹角也恰好把圆分成1：0.618……的两条半径的夹角。而且这种角度对植物通风和采光效果最佳。人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618……处。

数字0.618……更为数学家所关注，它的出现，不仅解决了许多数学难题，而且还使优选法成为可能。优选法是一种求最优化问题的方法。如在炼钢时需要加入某种化学元素来曾加钢材的强度，假设已知在每吨钢中需加某化学元素的量在1000--2000克之间，为了求得最恰当的加入量，需要在1000克与2000克这个区间中进行试验。通常取区间的中点（即1500克）作试验。然后将试验结果分别与1000克和2000克时的实验结果作比较，依次下去，直到取得最理想的结果。这种实验法称为对分法。但这并不是最快的实验方法，如果将实验点取在区间的0.618处，那么实验的次数将大大减小，这就是一维的优选法，也称0.618法。因此大画家达·芬奇把0.618……称为黄金数。
植物中的神秘数字

扑克牌上的“梅花”并非梅花，甚至不是花，而是三叶草。在西方历史上，三叶草是一种很有象征意义的植物，据说第一叶代表希望，第二叶代表信心，第三叶代表爱情，而如果你找到了四叶的三叶草，就会交上好运，找到了幸福。在野外寻找四叶的三叶草，是西方儿童的一种游戏，不过很难找到，据估计，每一万株三叶草，才会出现一株四叶的突变型。



在中国，梅花有着类似的象征意义。民间传说梅花五瓣代表着五福。民国把梅花定为国花，声称梅花五瓣象征五族共和，具有敦五伦、重五常、敷五教的意义。但是梅花有五枚花瓣并非独特，事实上，花最常见的花瓣数目就是五枚，例如与梅同属蔷薇科的其他物种，像桃、李、樱花、杏、苹果、梨等等就都开五瓣花。常见的花瓣数还有：3枚，鸢尾花、百合花（看上去6枚，实际上是两套3枚）；8枚，飞燕草；13枚，瓜叶菊；向日葵的花瓣有的是21枚，有的是34枚；雏菊的花瓣有的是34、55或89枚。而其他数目花瓣的花则很少。为什么花瓣数目不是随机分布的？3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...这些数目有什么特殊吗？



有的，它们是斐波纳契数。斐波纳契（1170-1240）是中世纪意大利数学家，他不是在数花瓣数目，而是在解一道关于兔子繁殖的问题时，得出了这个数列。假定