回归与曲线拟合

　　我们经常需要把观测到的数据表达为函数，假如有如下的对时间的观测：

t = [0 .3 .8 1.1 1.6 2.3]’;
y = [0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40]’;
plot(t,y,’o’),
grid on

多项式回归

由图可以看出应该可以用多项式来表达：y=a0+a1*t+a2*t^2
系数a0,a1,a2可以由最小平方拟合来确定，这一步可由反除号＂＼＂来完成
解下面的三元方程组可得：

X = [ones(size(t)) t t.^2]
X =
　　1.0000 　0　　　　0
　　1.0000 　0.3000 　0.0900
　　1.0000 　0.8000 　0.6400
　　1.0000 　1.1000 　1.2100
　　1.0000 　1.6000 　2.5600
　　1.0000 　2.3000 　5.2900
a = X\y
a =
　　 0.5318 　0.9191 　–0.2387

a即为待求的系数，画图比较可得

T = (0:0.1:2.5)’;
Y = [ones(size(T)) T T.^2]*a;
plot(T,Y,'–',t,y,'o',), grid on

结果令人失望，但我们可以增加阶数来提高精确度，但更明智的选择是用别的方法．

线性参数回归

形如：y=a0+a1*exp(-t)+a2*t*exp(-t)
计算方法同上：

X = [ones(size(t)) exp(– t) t.*exp(– t)];
a = X\y
a =
　　 1.3974 – 0.8988 0.4097
T = (0:0.1:2.5)';
Y = [ones(size(T)) exp(– T) T.exp(– T)]*a;
plot(T,Y,'–',t,y,'o'), grid on

看起来是不是好多了！

例子研究：曲线拟合

　　下面我们以美国人口普查的数据来研究一下有关曲线拟合的问题（MatLab是别人的,教学文档是别人的,例子也是别人的，我只是一个翻译而已．．．）

load census

这样我们得到了两个变量，cdate是1790至1990年的时间列向量(10年一次),pop是相应人口数列向量.

上一小节所讲的多项式拟合可以用函数polyfit()来完成,数字指明了阶数

p = polyfit(cdate,pop,4)
　　Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
　　Results may be inaccurate. RCOND = 5.429790e–20
p =
　　1.0e+05 *
　　0.0000 –0.0000 0.0000 –0.0126 6.0020

产生警告的原因是计算中的cdata值太大，在计算中的Vandermonde行列式使变换产生了问题，解决的方法之一是使数据标准化．

预处理：标准化数据

数据的标准化是对数据进行缩放，以使以后的